Gowers是英国皇家学会院士，剑桥大学数学教授，因其将泛函分析与组合数学联系起来的贡献于1998年获菲尔兹奖。

我深信，创作是有魔怔的!这阶段看到啥都会联想到数学，一大早就被我所在的蓝润天使外国语学校同事们刷屏。对于少雪的南方人，遇见虎年的第一场雪自然心情激动。恰逢数学电影拍摄到了“相似”这个篇章，我也不自觉的蹦出一个念头——侃侃分形。前天从足球聊向欧拉公式，那么今日就从雪花聊向哲学吧!1从科赫雪花谈起雪花大都是六角形的，每片雪花都是一幅极其精美的图案，连艺术家都赞叹不止。像达·芬奇这样的艺术家往往精通数学，反之，好多数学家也喜欢艺术。1904年，瑞典数学家尼尔斯·法比安·海里格·冯·科赫（Niels

Waerden，1903-1996）证明了下面的结论：对任意给定的正整数和，总存在一个正整数，满足如下条件：我们将集合划分为个子集，无论我们怎么划分，这个子集中必定有一个子集包含长的等差级数。

mathematicalculturehttp://www.global-sci.org/mc/

“”http://weibo.com/wildmath当一部数学史摆在我们面前的时候，我们总会津津乐道于那些创造了伟大的数学理论或者证明了著名的数学猜想的数学家们。可是，真切的数学却同这个世界经历着同样的历程——战争与和平、繁华与凋零。我们不该忘却那些隐秘的数学英雄，他们以数学为武器来捍卫着我们安宁的生活，他们以卓绝的才华印证了数学在华美的外衣下，蕴含的是能将智慧发挥到极致的伟大力量。正是这强悍的力量，在守卫着我们的世界，构建着我们的心灵。波兰三杰今年（注：2012年）是计算机科学伟大的先驱者阿兰•图灵诞辰一百周年，在无数有关图灵的故事中，流传甚广而且特具魅力的就是他破译德国英格玛（Enigma）密码系统的传奇。可波兰数学家和密码学家雷耶夫斯基（Marian

“”http://weibo.com/wildmath我们继续从笛卡尔出发的微博上的数学漫游。这些文字的中心话题是人、是与数学相关的那些有故事的人。由短短的微博连缀起来的漫游，大多是连贯的，间或有些跳跃。它近乎于随机走动，间或又有点勒维飞行的味道，但故事的焦点始终是数学家的逸事。正如建筑并不是砖头的堆砌，数学也并非只是一堆逻辑上正确的定理的堆积。想想那些创造了数学的人们，纵然不乏稀世之才，却又都是血肉之躯。在历史洪流的宏大叙事之外，品味精彩各异的数学家群体或个体，欣赏那些坎坷曲折的人生阅历与极富理趣的数学成就如影随形的景观，或许也是数学文化的独特魅力？哈代Hardy

Li-Yorke混沌’的故事”，李天岩，《数学传播》十二卷三期，13-16，1988。《混沌——开创新科学》，詹姆斯·格莱克著，张淑誉译，上海译文出版社，1990。A

1936-1997）来自康奈尔大学，就像他的这个位置四十年代的前任贝特一样。1973年到任后，他做的第一件事就是解雇了几位高级研究员，而代之以他精心挑选的新一代。当费根鲍姆（Mitchell

1857-1911）名字命名的智力测验，结果是：如果他被当作孩子的话，大概属于“低能儿”。他一生当中的主要娱乐是阅读，其读书的速度快得令人难以置信，并有着比瑞士的大数学家欧拉（Leonhard

5.8级的地震刚过，百年不遇的台风IRENE又来赶热闹，整个美国东部顿时紧张起来。电视上说新泽西马里兰一带有人购物买水做准备，把商店的货物架都搬空了。波士顿地区没听说有搬空商店的情况，但大家还是做了一些准备，孩子学校已经来电话说有可能推迟开学。大家严阵以待，结果却让孩子们很失望，IRENE悄悄地来了，又悄悄地走了，影响没有预计的那么大。带来的云都以小雨的形式洒在了地上，所以志摩诗的最后一句还是可以用上，不带走一片云彩。当然，局部地区的小破坏还是有的。我家附近一个电线杆被吹倒的树挂倒，停电数小时。停电那一刻让我想起我的一个侄儿在FACEBOOK上的留言：台风来临清单：笔记本一小时，三个DS各一小时，DIX四小时，共八小时。原来这些电玩都是为停电准备的。像我们这些从前在完全没有电的地方生活过的人，停几个小时电没有什么可怕的。先是与女儿下了几盘围棋，然后她去弹钢琴，我去看书，一切都很自然。停电期间翻了几本数学杂志，简转几篇有意思的在这里，顺便短评一下。陶哲轩教授2006年从西班牙国王手里接过菲尔兹奖数学札记1数学资深会员在2011年9月份美国数学协会的会刊“Notice”上，美国数学协会（AMS）主席说：长期以来，数学领域的各种奖都发给了那些最最优秀的数学家，很大一部分（不是最最）优秀数学家被冷落了。我们需要一种新的体制来鼓励、表彰、确认这些优秀数学家。所以，美国数学会准备建立资深会员制（Fellow），希望大家投票表决是否有必要。主席说别的协会（比如美国工业与应用数学协会（SIAM）等）都有资深会员制。这种制度可以提高数学家（和数学协会）的知名度，为他们的研究提供方便，也可以提高大家的工作激情。同期杂志上也登了反对方的意见。反方意见说数学家最可贵的东西就是纯洁，追求的是绝对真理，不受外界的影响。引进资深会员制就是在数学家中搞等级，会造成不必要的隔阂。而且，为了谁成谁不成资深会员的问题，必然会有争斗，会让许多数学家把宝贵的研究时间花在这些争斗上。最后说，我们不需要等级制度来划分我们。让我们为成为一个没有任何前缀的数学家而自豪吧。我觉得正反两方是从两个不同的视角在看这个问题。数学协会主席是把数学家作为一个整体，与外面比较。别的学科有资深会员，简历上可以多写一项。数学家与别的科学家竞争时就少一个优势。而且，拿菲尔兹奖之类的大奖对绝大部分数学家来说是不现实的期望，设立资深会员制给大家多一个盼头。而反方是从数学家内部来看问题的。资深会员制必然产生内耗，引起山头主义，后患无穷。这几天国内学术界闹得轰轰烈烈的饶毅退选院士事件就是一个活生生的例子。双方的考虑都有道理，关键是要看这个制度怎么管理。可以从别的学科借鉴好的管理经验。当然，只要有人为的参与，总会有这样或那样的非数学的因素。最后怎么决定就要看大家的表态结果了。数学札记2数学与网络停电期间看的另一篇文章是陶哲轩的《数学与网络》。陶哲轩何许人？菲尔兹奖获得者，神童中的神童。据他爸爸说，他两岁的时候，家里有聚会，看见他在教别的五岁的小孩做算术。家里人从来没有教过他算术，他自己说是看电视“芝麻街”学会的。也没有人教过他阅读，他说妈妈给他念书的时候他跟着看就学会了。11岁上大学，20岁拿博士，24岁当正教授。陶哲轩年轻，还长着一副娃娃脸。记得有一次美国数学年会，他被邀作大会报告。上千人的大厅里座无虚席，台下的数学家们听台上一个中学生模样的人作报告。当时感觉很滑稽。两年前，陶哲轩被邀请到美国科学院作演讲。这篇《数学与网络》就是他的演讲稿，《数学文化》2011年第1期有中文翻译。他在演讲中说，他作过很多数学讲座，但这种大型演讲（Speech）还只是第二次。上一次是他九岁时候作的，希望这次不要讲得像一个九岁小孩。顺便说一下，陶哲轩九岁时作的演讲网上也可以找到，有可读性。陶哲轩在演讲中说，过去几十年意义最大的发明就是网络。网络影响了人类社会的每一个角落。他原来以为数学家呆在象牙塔里不会受到太多影响。其实不然，网络对数学家的影响也越来越大。反映在数学家工作的两个主要方面——教学与研究。从教学方面来讲，网络使课堂变得很灵活。学生可以利用网络与老师互动，当然也可以利用网络来作弊。网络也使课堂变大。一个现实课堂或许只有二、三十人，但虚拟课堂可以有成百上千的学生。而且，虚拟课堂不受时间限制。他的一些旧讲义放在网上，很久以后都会有学生来提问题，继续学习。他还举例说，数学中有一个经典变换叫莫比乌斯变换（Mobius

在很多人的心目中，数学与文学水火不相容，文学家不懂数学，数学家也不可能有文学家的浪漫情调。殊不知，很多数学大家也是文采飞扬，能诗善赋的。例如，陈省身写过“物理几何是一家，共同携手到天涯”这样的诗句来说明物理与几何的紧密联系。华罗庚有一次参加科学家代表团出访，出了一句上联“三强韩赵魏”让别人对下联。“三强”一语双关，一方面是春秋战国时期由晋国分成的韩赵魏三个诸侯国，另一方面又是代表团中的科学家钱三强的名字。下联不但句子的格式要与上联对偶，前两个字也同样应当一语双关。这个要求实在是太难达到。不过华罗庚早就自己想好了下联：九章勾股弦。《九章算术》是中国古代著名数学著作，其中讲到了涉及勾股弦的著名的勾股定理，“九章”还是代表团中的科学家赵九章的名字。我的导师曾肯成在数学领域内是华罗庚的学生，而且与华罗庚一样不输文采，是数学界有名的才子。我在《名师培养了我》一文中写了一段“我的导师曾肯成”讲述他的一些往事。意犹未尽，特意另外写一篇专门讲述他与文学有关的几个故事。放过蛟龙1978年9月，在川陕边界大巴山区经过了八年的磨难之后，我终于考回了母校——中国科技大学读研究生。1965年我考入中国科大读本科时是在北京玉泉路，1970年本科毕业离开科大时是在安徽铜陵，1978年重回科大则是在安徽合肥。十年动乱，科大颠沛流离，我也颠沛流离，如今总算又走到一起了。走在从未见过的陌生校园里，碰见八年以前的老师或同学，恍如隔世。记得在校门口碰见杨纪柯老师，他对我说了一句：“好久没见过你了，你到哪里去了？”这句话看似平常，在我心中引起的却是无限的感慨。他说的“好久”可不是几天几月一年两年，而是长达八年，足够打败日本鬼子的八年。八年没看见我，并不奇怪，本来我就已经离开科大到那深山老林中去了，应当是一去不复返了，他永远没看见我都是理所当然的。而今他能够看见我，这才是奇迹。从深山老林考回名牌学府，当然是我的幸福和骄傲。但从报上看来的一则消息却让我骄傲不起来。考上北京大学的一位研究生，两门数学课程，满分是200分，他就考了198分，几乎是满分。这位令我佩服不已的研究生叫唐守文，他的导师是北京大学段学复教授。后来我知道这位唐守文早就是名人。在念中学时就是上世纪六十年代初中国最早的中学生数学竞赛的状元，华罗庚请他到家吃过饭的。后来，我的导师曾肯成到北京为女儿治病，就安排我们与段学复的四位研究生一起听课和搞讨论班。我就与段学复的几位研究生都很熟了，包括我很佩服的唐守文。再后来，在北京大学段学复与丁石孙、中国科学院万哲先、华东师大曹锡华、复旦大学许永华、南京大学周伯壎等老一辈代数学家的支持下，同时也在中国科大和中国科学院的支持下，我有幸成为我国自己授予的首批博士之一。鉴于唐守文也做了很好的工作，曾肯成与万哲先极力支持他获得博士学位。然而，北京大学当时一定要研究生先获得硕士学位，再攻读博士学位。于是唐守文只能先举行硕士答辩。在答辩会上，曾肯成和万哲先仍然坚持认为唐守文达到了博士学位水平。曾肯成告诉我，在答辩委员会决议上还写了一句“有的委员认为达到博士水平。”曾肯成为此写了下面的一首诗：建议授予唐守文同志博士学位七言八韵岁月蹉跎百事荒，重闻旧曲著文章。昔时曾折蟾宫桂，今日复穿百步杨。谁道数奇屈李广，莫随迟暮老冯唐。禹门纵使高千尺，放过蛟龙也不妨。蟾宫是指月亮。“曾折蟾宫桂”，到月亮上去折桂花树枝，是指唐守文获得数学竞赛冠军的光荣历史。尽管由于文化大革命而“岁月蹉跎百事荒”，然而唐守文并没有因此而放弃奋斗，“重闻旧曲著文章”,“今日复穿百步杨”，都是说他在研究生阶段作出了新的更好的成绩。李广和冯唐是人才不受重用而被埋没的两个例子，王勃《滕王阁序》中“冯唐易老，李广难封”也是举这两个例子。曾肯成举这两个例子是希望这样的故事不要在唐守文身上重演。最后两句最精彩。其中所说的“禹门”就是黄河的龙门（其实是指的壶口瀑布），有传说“鲤鱼跳龙门”，鲤鱼如果从龙门跳上去，就可以成为龙了。曾肯成承认“禹门高千尺”是对的，授予博士学位坚持高标准是对的，但人家已经不是鲤鱼而是蛟龙了，已经达到了博士学位的高标准，为什么还不放他过去，授予他博士学位呢?曾肯成的这首诗虽然写好了，却没有地方发表。他将这首诗投稿到《北京晚报》的《阿凡提》专栏去，但阿凡提也不敢发表。于是这首诗就只能在中国科学院和中国科大的当时的研究生中流传，也肯定传到其他高校一些研究生那里。曾肯成这首诗，其实不只是写给唐守文的，而是体现了他对我们整个这一批研究生的全力支持，也生动体现了他对年轻人的一片深情。当时有一种舆论认为我们这批研究生因为文化大革命而没有受过完整的大学本科教育，没有打好基础。而曾肯成则非常看重我们这一批研究生经过艰苦环境锻炼养成的良好素质。曾肯成的这首诗在研究生中广泛流行，成为给所有的研究生撑腰打气的诗，很受欢迎。曾肯成为此颇为得意的说：“我是在为你们张目。”段学复教授希望唐守文继续攻读博士学位。但唐守文为了解决夫人调动北京的问题而到了北京工业大学办的北京计算机学院，后来到了国外搞计算机。清风两袖我博士答辩的前一天，与曾肯成老师在校园里一边散步一边聊天。曾老师给我下了一道命令：今天不许谈数学。不谈数学谈什么呢？古今中外，诗词歌赋，什么都谈，就是不能谈数学。有时我不知不觉讲到数学了，曾老师马上警告：“你犯规了！”我马上改正。突然，曾老师嘴里冒出一句话：“你有时候不严肃。”我听了莫名其妙，想不起我什么时候在老师面前有不严肃的表现。曾老师解释说：“有一次批判我帽子里的那副‘反动对联’，你在作记录，却还在笑，一点都不严肃。”我想起来了，那是在文化大革命中发生的事情。很多人都要在戴的帽子里垫一张纸，使帽子里面一层不容易弄脏。垫的纸脏了，另外换一张干净纸就行了。曾肯成也在自己的帽子里垫了一张纸，还在纸上写了自己的姓名住址，并且写道：如果这顶帽子丢失，请拾者送到某某地址。除此之外，还在纸上写了一副对联：破帽一顶，清风两袖。不巧的是，有一天帽子真的丢了，真的被人拾到了。拾者却没有送还曾肯成，而是交给当时掌管阶级斗争的领导。帽子里的对联马上成为阶级斗争的新动向：曾肯成是右派，“破帽一顶”不就是影射的自己头上的“右派帽子”吗？这是对党的不满。于是召开批判会批判这副“反动对联”。想起这件往事，我向曾老师说：“我记不得当时是否笑了，但记得清楚的是：当时觉得你那副对联对仗工整，内心非常赞赏，也许脸上就不知不觉地露出了笑容吧。”我没有问过曾肯成是怎样当上右派的。我大概知道的是：他当时正在莫斯科大学留学，有人给他寄的国内的报纸上有右派言论，被人打了小报告揭发他散布右派言论。于是他接到命令立即回国。他回忆说：莫斯科火车站的同一个月台上停了两个相反方向的火车，一列往北京，另一列往华沙。他明知回国要当右派，挨批判。如果登上去华沙的火车，也许能逃脱挨整的噩运，但也就从此走上了背离祖国的道路。他还是登上了回北京的火车。文化大革命刚结束不久，邓小平拨乱反正，文化大革命中挨整的很多人平了反。当时很广泛的共识和流传很广的消息是也要为错划的右派平反，不过还没有实施。这时候曾肯成需要填写一份履历表，上面有一栏是“受过何种奖励与处分”。右派当然是他“受过的处分”，应当怎样填写？他写了一首诗在上面：曾经神矢中光臀，仍是当年赤子心。往事无端难顿悟，几番落笔又哦吟。裤子还没有穿好就被反右斗争的“神箭”射中了，这就是“神矢中光臀”，这句表面幽默实际上辛酸的诗描述的就是他当时在没有任何思想准备的情况下被戴上了右派帽子。虽然受到了不公正的待遇，“仍是当年赤子心”。当他写到这里的时候，是否想到莫斯科火车站上的那两列火车呢？他写下的一定是对自己当年选择回北京的无怨无悔。感谢党中央的拨乱反正和改革开放路线，曾肯成头上戴的右派帽子终于被彻底摘掉了。他终于可以发挥自己的聪明才智报效祖国。他在中国科大研究生院（后来改为中国科学院研究生院）创建了信息安全国家重点实验室，成绩斐然。他提出的一些学术观点之先进让国际同行大吃一惊。趁他到美国学术访问的机会，美国有关方面找上门来，希望与他合作搞信息安全。他拒绝了，回到了祖国。尽管他的女儿女婿后来都去了美国，但他再也没有到美国去过。他的观点是：搞数学理论研究可以与美国人合作，搞信息安全只能为中华人民共和国服务。Kuoxingga曾肯成的英语和俄语都非常好。据说他的俄语好得可以与俄国人吵架。我1965年刚到中国科大念本科不久，还不认识曾肯成，就听说了这么一个故事：苏联有一个学中国历史的研究生写了一篇学位论文，内容是关于郑成功收复台湾的。既然是研究中国历史的论文，就需要送给中国历史的权威来审查，写出评审意见。于是就送到中国请郭沫若审查。为了让郭沫若审查，先要将论文由俄文翻译成中文。但是，在翻译中遇到了一个问题：论文中有一段话说：荷兰侵略军听说郑成功的部队来了，闻风而逃，同时大叫大喊“Kuoxingga”(此处用汉语拼音表示这个单词的读音)。翻译人员不知道“Kuoxingga”是什么意思。查遍了所有的俄文辞典，也不懂这个俄文单词的意思。翻译人员想到了请教曾肯成。曾肯成一看，就指出：Kuoxingga根本不是俄文单词，而是中国话！只不过不是普通话而是福建话。Kuoxing就是“国姓”，郑成功被逃亡中的明朝小朝廷赐姓朱，称为“国姓爷”。福建话中“爷”的发音是“Ga”，因此“Kuoxingga”就是“国姓爷”，是郑成功的光荣头衔。本来是用中国话喊的，在俄文的论文中按发音用俄语字母拼出来，中国的翻译反而就不认识了。这也难怪，要翻译好这句话，只懂俄语不行，得了解方言和历史，也只有曾肯成这样博古通今才想得出来。后来我当了曾肯成的研究生，曾经向他求证这个故事是否是真的，他没有直接回答，反而得意洋洋地向我大讲起福建方言来。层峦耸翠我读研究生的时候，曾肯成建议我做的第一个论文选题是研究有限非交换单群的子群格刻画。他自己对射影特殊线性群和射影辛群完成了刻画。在他的方法的启发下，我对射影特殊酉群作了刻画。并且由此发展出一套方法用来研究典型群的子群结构问题获得了成功。另一方面，我尝试对包括线性群、辛群、酉群在内的李型单群进行统一处理，发现可以利用Tits新提出的Building理论。Tits写了一本专著论述Building理论。我买不到这本专著，在周围也借不到，只能到北京图书馆去将这本书借出来，在图书馆里阅读。连续读了三天，作了笔记，有了基本的了解，就开始用它来解决问题。我向曾老师汇报了读书的心得和用它来解决问题的方案。李型单群的抛物子群按包含关系组成一个Building，各抛物子群层层叠叠堆起来，好象一座美丽的塔。曾肯成马上用王勃的名篇《滕王阁序》中的句子来描述它：层峦耸翠，上出重霄。飞阁流丹，下临无地。按我的理解和想象，“层峦耸翠，上出重霄。”是一层层翠绿的山峰由下往上重叠起来，冲破了天到九霄之外。“飞阁流丹，下临无地。”则是红色的楼阁像通红的岩浆一层层往下流淌，飞泻到无底深渊。这都好像是Building的一层一层重叠的结构。曾老师将数学的结构用如此美丽的诗句来描述，既惟妙惟肖又生动形象。滕王阁是在江西南昌，一千多年来经过了多次毁坏和重建，文化大革命中，1966年12月底，我与两位同学一起从上海步行串联到井冈山，途经南昌，停留了两天。记得是1967年元旦那天从南昌出发连续走了两个县城到樟树，行程60公里。那时原来的滕王阁已毁坏多年，还没有重建，所以我在南昌看不到滕王阁。39年过去，弹指一挥间，2006年我应邀访问南昌大学，第二次来到南昌，参观了新建的滕王阁。新建的滕王阁比历史上任何一次都更高，“飞阁流丹，下临无地”的大气派令人景仰。然而，令我不解的是：滕王阁坐落在赣江边的平地上，往四周望去也都没有小山丘，更不用说“层峦耸翠”了。是不是王勃写文章的唐朝时候有“层峦”，以后由于一千多年沧海桑田的自然变化变成了平地?或者是人工的移山填海将层峦全部铲平变成了平地？而且，在滕王阁看见的《滕王阁序》的另外一个版本不是“层峦耸翠”而是“层台耸翠”，层台就不是山峦而是人工建立的楼阁。滕王阁的建筑大多数地方并不是红色而是绿色，说是层台耸翠也符合事实。到底是怎么回事，暂时让它存疑吧，也许哪一位了解南昌的历史和地理的朋友可以指教我。梅花润笔我在1978年到1982年读研期间，大部分时候住在合肥。而导师曾肯成住在北京。我们在合肥自己念书和搞研究，必要的时候到北京去与曾老师讨论。有一次，正要离开北京回合肥，曾老师说：“史济怀欠我一盆梅花，你催他尽快给我。”我觉得很奇怪，经过曾老师解释才知道是怎么回事。史济怀当时担任中国科大副校长，外事是他主管的工作之一。有一位日本友人来科大访问，写了一首中文诗赠给科大。史济怀觉得应当回赠这位日本友人一首诗。曾肯成是数学界有名的才子，写诗是拿手好戏，于是史济怀就请曾肯成代写一首诗回赠日本友人。曾肯成欣然命笔，科大和日本友人皆大欢喜。不过曾肯成觉得这首诗不能无偿奉献，向史济怀要一盆梅花作为酬劳。史济怀答应了，但一时还没有来得及准备好，所以曾肯成就让我帮他“讨债”。我当然不能向史济怀老师讨债，但还是向史老师问了梅花的事。史老师笑着说：“有这回事。知道了。”后来，我又到北京去见曾老师，问起梅花的事情。曾老师说：已经收到梅花了。很多人看来，写诗和要梅花都是文人墨客的故事，与数学家的形象完全不相容。然而，曾肯成这个数学家却偏偏有这样的雅兴，除了数学和诗歌之外，他还喜欢侍弄花花草草。我刚到合肥的时候，他还带我参观了他在自家楼前种的一棵树，说这棵树是他种的“扎根树”，表示要永远扎根合肥。不到一个星期，由于他的女儿生病在安徽没能正确诊断，幸好马上到北京医治，才挽救过来。从此他也就呆在北京。有一次我去北京时，他还问起我去看了他的扎根树没有，扎根树长的怎样了。我笑道：你都离开合肥了，那棵树还叫扎根树吗？他说不是不愿意扎根，而是因为种种缘故不能够扎根。桃李不言1994年，我们在南开大学参加第五届全国代数会议。会议期间，部分与会代表发起为代数学界的带头人段学复院士庆祝八十寿辰。由于段学复教授的身体不适合于从北京到天津去，参加祝寿会的代表就专程从天津坐车到北京来。参加祝寿的代表都是段学复在各个时期的学生。曾肯成也是段学复的学生，我就算段学复的徒孙了，更何况段学复是我的博士答辩委员会主席，所以我算是双重的徒子徒孙。参加祝寿的代表们共同筹划买了一个大大的景泰蓝花瓶送给段学复作为寿礼。同时委托曾肯成写几句祝贺词来代表大家向段学复表示心意。眼看举行祝寿仪式的时间快要到了，曾肯成答应写的祝贺词还没有交卷。主持此事的万哲先急了，又不好意思自己去催曾肯成，就命令我去催曾肯成赶快完稿。我遵命去问曾老师，他却说不慌不慌，没有问题，一副胸有成竹的样子。我心里比较急，心想离祝寿只有几个小时了，即使他想好了祝贺词，要把这些话写出来也得花时间呀，怎么能不急呢？曾肯成的祝寿词终于想出来了，只有八个字：桃李不言，下自成蹊。很多人以为“桃李”代表学生，以为将这两句话赠给段先生是赞扬他桃李满天下。曾肯成解释了这两句话的意思：桃李默默无声不说话，但喜欢桃李的人还是络绎不绝到桃树李树下来摘桃摘李，将桃李树下踩出了一条条路。将这两句话赠给段先生，是赞扬他从来不宣扬自己，但却受到大家共同的景仰。段学复在祝寿会上回忆了自己几十年的历程。没有按照惯例历数自己的功劳和业绩，反而一次次回忆自己生过几场大病。除了身体的病痛，特别回忆起心灵的病痛——让他刻骨铭心的几件伤心事。最让他伤心的不是自己的坎坷而是别人的灾难，是他在反右斗争时被迫“挥泪斩马谡”，亲口将自己最得意的学生宣布为右派。他讲到这里忍不住再次挥泪，哽咽着无法继续说下去。美梦难续2004年5月，黄金周刚到末尾，本来我已经买好机票先到广州参加张景中院士组织的教育数学学会的成立大会，再直飞哈尔滨参加对哈尔滨工业大学工科数学基地的检查。突然听到曾肯成老师不幸去世的噩耗，如五雷轰顶。立即将去广州、哈尔滨的机票全部退了，赶到北京，帮助曾肯成的女儿一起策划葬礼有关事宜。曾肯成女儿接受我的建议，在父亲的追悼会场挂了对联“桃李不言，下自成蹊”。曾肯成送给段学复的这两句话，也恰是曾肯成自己一生的写照。他只知疯狂地干活，从来想不到要宣扬自己的成绩。他早期的理论研究的奇思妙想，都通通让别人去实现并发表文章，还不准署上他自己的名字。我读研究生时所知道并且仔细读过的他的文章，只有两篇发表在中国科大学报上的关于子群格的论文。按现在的考核标准，他一定提不上教授。可是他的人品水平和功绩众所周知，在文化大革命刚结束后的首次职称评审中他破格由讲师升任教授。他后来一头扎进信息安全领域，所作的工作绝对是开创性的，并且获得了国家科技进步奖一等奖、何梁何利奖。然而，这些奖项都不是他自己愿意申请的，而是他所创建的信息安全国家实验室的部下们硬逼他申请、帮他填表才获得的。曾肯成去了，作为一个普通的退休教授去了。按照这个级别，只能由本单位的老干部处来主持办理治丧事宜。然而，应曾肯成女儿的邀请，全国人大副委员长丁石孙愿意担任治丧委员会主任。有关工作人员很奇怪：一个普普通通的退休教授怎么能“享受”这样“高级别的待遇”呢？他们打电话问曾肯成女儿：“曾肯成与丁石孙是什么关系？”曾肯成女儿回答说：“老同学。”曾肯成女儿向我讲起这件事。我说：“你应当回答：铁哥们。”尽管丁石孙的腿脚不方便，但他还是亲自参加了曾肯成的追悼会。由于丁石孙是国家领导人，有严格的保安措施，我在追悼会上没有能够见到他。但是我见到了许许多多几十年没有见过的老师和校友，看见了一张张曾经熟识却又因岁月流逝而变得陌生的面孔。曾肯成经常说，他从来没有当过小组长以上的任何干部。（我有一次反驳他，说他所担任的国家实验室主任比小组长级别高很多了。但他说实验室主任不是官职。）因此，他也从来没有当过参加追悼会的长长的队伍中的任何一员的“上级领导”。当我看见这支长长的队伍迈着沉重的步伐缓缓地前进的时候，我仿佛觉得他们是走在一片桃树林中。桃花谢了，桃子摘了，只剩下枯枝。队伍缓缓地前进着，长得没有尽头。走进这支队伍的人们不是来欣赏花的芬芳，品尝果的美味，而是来感谢树的恩情，留下他们永远的赞美和崇敬。我曾经写了两篇回忆录：《比梦更美好》、《名师培养了我》，并且为其中第二篇加了一个副标题《比梦更美好之二》。既然打出了《之二》的招牌，就是准备《之三》、《之四》……一直写下去组成一个系列。用《比梦更美好》作为这个系列的总标题，颇有些志得意满的味道，以为从此苦尽甘来，可以将美梦一直做下去了。早就想好了这一篇《数学家的文学故事》的内容，并且准备将它作为《比梦更美好之三》。只是由于诸事繁忙，已经胸有成竹的这篇文章竟一拖再拖未能提笔完稿。不幸曾肯成老师去世，这篇文章再也不能被冠以“比梦更美好”的名目。而我也从志得意满的虚幻美梦中苏醒过来，重新面对客观世界不可抗拒的悲欢离合。拖了一年又一年，为了科大的校庆五十周年，终于下决心抽了两天时间完成这篇文章。所谓抽时间，包括坐飞机到外地出差的来回途中在机场候机及在天上飞行的时间。虽然可以以这篇文章勉强告慰曾老师的在天之灵，但也自感惭愧：为什么不在曾老师去世之前抽出两天时间来完成呢？系列回忆录还要继续写下去。只不过不能再叫做《比梦更美好》了，另外想个题目吧。文章为原创内容，版权归【数学文化】所有如需转载请联系：support@global-sci.org

1 引子近几年开设《初等数论》课程，我总是要抽出一定的时间专门给学生科普一下关于素数的故事。这篇科普文章正是基于这些讲稿整理出来的。素数是整个数论的灵魂。然而多数学生对素数的了解非常少。很多人不明白：为什么我们要研究素数？素数如何与众不同?素数到底有趣在哪里?素数对数学很重要吗?……如果学生在上完一个学期的数论课后，却仍然对素数茫然无知，那无疑是一种讽刺——这就好比你看完一场戏，不知道主角做了些什么。写这篇文章的另一目的也是为了给那些依然执着于证明哥德巴赫猜想的民科们做一次扫盲的尝试——尽管他们中的大多数会继续执着下去。然而我们不得不承认这样一个现实：民科们对素数的热情与执着确实远远超过很多数学系的本科生——这多少会让我们这些老师感到沮丧。2 素数有多少？我们说一个整数能被另一个整数整除，就是指是整数。有时我们也把称作的因子。一个素数（Prime

数学文化作为当今我国大学数学教育中的热门话题，已经走进许多高校的课堂。数学文化课在华师大的开展已有多年的历史：最初有我国著名数学教育家张奠宙教授开设《数学文化透视》，而在近年课程调整后，数学文化已成为我校的一门通识限选课程。本文缘自作者在华师大的一次数学文化课堂的教学尝试。希望这些文字的简单呈现，可以分享那一课堂背后的点滴故事和数学感动。这段数学故事得由下面的一则游戏说起。一则游戏有个小游戏或许与想象力有关，这个游戏的名字是：什么能使生活变得圆满？我们都学了许多年的英语，现在让我们发挥一下想象力，把英文字母与数字相联系，看看会发生什么？如果令这个英文字母，分别对应于数字，那么我们就能得出如下有趣的结论：有人认为努力工作就能使生活变得圆满，是这样吗？HARD

Hilbert）提出了一个著名的问题：是否存在一系列有限的步骤，它能判定任意一个给定的数学命题的真假？

1992年9月，一位中国数学家在65岁生日当天立下了遗嘱，主要内容是：去世后一切从简，如有现款则捐给他所任教的数学系。立嘱人是北京大学数学系原主任——丁石孙。除此之外，他还担任过北京大学校长、民盟中央主席，全国人大常委会副委员长。丁石孙集数学家、教育家与社会活动家等多种身份于一身，是颇具传奇色彩的一个人物。一、抄作业的中学生丁石孙，原名丁永安，1927年9月5日出生于上海西门路润安里43号，因出生前过继给伯祖丁石櫵作孙子，又名丁石孙。丁石孙的祖上据说是读书人，做过小官，到曾祖父时家境衰落，但祖父丁传科却精明能干，颇具商业头脑，到北方各地收购粮食、糖运往上海销售，因此挣下了很大的基业。不仅在祖籍镇江有房产，还在上海与丁石孙的外祖父合资建造了房子，取镇江润州古名而将上海的房子定名为润安里。丁石孙的父亲叫丁家承，母亲叫刘惠先，一家人生活在镇江。除丁石孙外，他们还育有3个孩子，二女儿丁永宁、三子丁永宏和四女儿丁永容。丁家承毕业于上海南洋中学，拥有高中学历，国文相当棒，还写得一手好字，却不愿子承父业学习经商。祖父对此虽不满意，甚至一度决心不让儿子继承家业，但每月仍给他300大洋以供生活。此外，丁家承钱不够用时便到祖父在镇江的分店支取。得益于祖父的供给，丁石孙一家在镇江可以说是非常富裕，属于当地有名望的人家。清末民初以来，西方文化开始大规模传入，新式学校陆续在中国开办起来。由于祖父是学徒出身，思想不免有些封建保守，认为进洋学堂会学坏，不许丁石孙念小学。丁石孙在8岁之前一直待在家里，由父亲教国文，母亲教英文。丁石孙的外祖父家也十分富裕，母亲曾跟随家里聘请的教师学习过一段时间。母亲教过他最简单的

很高兴应范良火教授的邀请，再次来到华师大参加会议。范老师让我做个关于数学教育方面的报告，但是在座的都是这方面的专家，我讲就无异于班门弄斧了。文革结束恢复研究生招生时，王昆扬和我考上了北京师范大学数学系读研，留校后在那里教了半辈子书。过去退休前还有能力搞一点科研，现在上了年纪，科研搞不动了，就只剩下还会教点书了，只能讲讲教书的点滴体会。前几年因为介绍国外的大学先修课程，与北京十一学校交往较多，北师大王昆扬和北大刘和平教授还分别在那里讲过一年的数学分析。现在他们学校开设了数学分析和高等代数，由自己学校的老师上课，就介绍我们到青岛中学去了。青岛中学可以算是他们同一个系统的学校吧。因为那里的校长名义上也是十一的校长，著名教育家李希贵老师，执行校长原来是十一学校副校长秦建云，他去海南创建新校，现在换成安徽省高考排名第一的马鞍山二中原校长汪正贵。2018年10月，我参加过华师大主办的第三届华人数学教育大会，并应邀作了一个关于英才教育的报告，其中提到过青岛中学。青岛中学是私立学校，当年活动能力极强的秦建云校长与青岛市委和市教育局沟通，由政府出地出资建起了一座非常漂亮的校园，教学楼是德国式建筑，外表类似于青岛火车站。由于离市区很远，学生全部住校；老师每人一间办公室兼教室。学校按照美国K-12的办学模式，附设幼儿园，小学五年，初中三年，高中四年。学校提供的课程很多，除了高考必考的语文、数学、英语三门主科，理工科的物理、化学、生物；以及文科的地理、历史、政治三门副科之外，还有体育、音乐、日语、动漫、机器人、平面设计等等。学校实行选课、走班制，没有一般学校中固定的班级。主课分层教学，比如数学分为三个层次，由三位老师分别授课，每人负责20人左右。语文分成三个班级，经常可以看到学生抱着很厚的小说在读，都是老师布置的，读完后分组讨论。每个老师都很敬业。每个学科都有从各校挖过来的经验丰富的优秀教师担任教研组长，教师则从清华、北大、北师大、华师大等名校招聘，基本上都是博士、硕士，几乎没有本科毕业的。总体来说，学生属于上中等水平，比不上青岛最好的中学青岛二中，当然由于地区差异，也比不上北京上海等城市的优质高中，但总体素质还是相当不错的。学生家长隶属知识阶层，基本分为三类：搞科研，当教师，做生意。学校几乎没有工人和城市一般居民子弟，也没有农民子弟。学校每年的学费是3.6万。新学年开始学费将调整为小学5.6万，初中5.8万，高中6万。另一方面，学校为学生提供丰厚的奖学金，全额奖学金，半额奖学金，新生奖学金等等。我们是2017年暑假到青岛的，当时学校刚刚招生，最高年级是九年级，学生年龄15岁。我们开始上课时，报名的学生很多，他们有点好奇，把大学先修课程称为“大仙课”，可能觉得这个课太特殊，应该有点儿仙气吧。实事求是说，我们的课程算不上成功，比起南方的一些优质高中，比如华师大二附中、江苏天一中学要差不少。他们有些学生能够在国家CAP考试中取得几乎满分的成绩，而我们学生的分数在北京大学的考试中只能算作中等。2017年学年开始，由王昆扬讲“数学分析”。由于对中学生不了解，他第一节课讲了伯恩施坦定理，还证了集合的基数小于该集合的幂集的基数，一下子就把学生打蒙了，15岁的孩子不能理解啥叫基数。王昆扬有股韧劲，不厌其烦地，反反复复地为孩子们列举例子，解释概念，孩子们也就模模糊糊地接受了。他在北师大所用课本理论性很强，不适合低龄的孩子，于是逐步删减理论，着重计算应用，慢慢地引导他们理解极限思想，理解ε-δ语言。❝张英伯在青岛中学讲课❞2018学年开始，由我讲授“高等代数”，包括“空间解析几何”。我也没有中学教学的经验，第一堂课讲线性方程组，觉得学生已经学过二元和三元一次方程组了，应该没有问题，上来就在黑板上写了n个未知数，m个方程的字母系数线性方程组，学生立刻懵了。幸亏高中学部主任王东刚是一位数学老师，他来听课，马上走到讲台前，建议我先举两个二元一次、三元一次方程组的例子，再引入n元m个方程的一般情况。因为初等数学偏重计算，孩子们对具体的数学对象比较熟悉，猛然用字母抽象出来会很不适应。还有一位数学组的老师夏成林长期随堂听课，也经常在我们习惯性讲得过深时及时补充、解释。我给孩子们讲了线性方程组与矩阵，行列式，向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及空间的直线和平面、曲线与曲面。线性代数部分用的是北京师范大学张英伯、王恺顺编写的课本《高等代数》，空间解析几何部分则照搬了北大冯荣权、清华杨晶和清华附中王殿军、周俊专门编写的大学先修（CAP）课本。张英伯、王恺顺编写的课本线性代数部分删掉了原来的“群环域的定义和例子”，“多项式环”两章，当然也没敢讲若当标准型的推导，师大书中的空间分解以及北大书中的λ矩阵两种推导方式都没敢涉及，只笼统地说在复数域上的向量空间中，每一个线性变换的矩阵都可以相似于一个若当标准型。在我开始上课时，“大仙班”里还剩13名学生，后来有几位准备赴美留学，被送到北京十一学校国际部去了，还有几位由于各种原因中途退出了，最后只剩下三位“大仙课”的“铁杆”。在学期中间，赴京的学生回青岛探亲，来到青岛中学探望老师，跟我们聊了很久。有一位名叫邵展鹏的男孩子，脑袋相当灵光，上课时经常接下茬儿，每次还都接得有些道理，考试成绩也非常优秀。邵展鹏说他们在十一中学上美国老师教的高等数学课，但是讲得很浅，比我们讲的简单多了，基本可以不听，感觉数学非常轻松。2018-1019学年的期末考试，题目的水平比北师大的考试略低。三位“铁杆”都考得不错，其中一位男孩子张博文甚至得到了裸分73分的成绩，两位女孩子纪乃文和李逸然也都得到了60分。实际上这个成绩对于他们来说非常非常地不容易，我给他们每人加了18分，以资鼓励。我们在师大数学系讲授数学分析和高等代数时，这两门课是主课，周学时为数分6-5-4学时，高代为4学时，每门课都有三位辅导教师（三个班），作业必须按时完成。而这里的“大仙课”虽然也是周4学时，但并非学生的主课。他们的主课是高考必考的语文数学和理化生，这几门课都有大量的作业。高考毕竟是升学的渠道，学生、老师、家长都十分重视。另外，两个女孩子分别选修了物理竞赛和化学竞赛课，也有大量的作业，而竞赛是可以在升学时加分的。因此他们基本上没有时间顾及“大仙课”的作业，毕竟升学不把大学先修课程的成绩作为参考。怎么办呢？我们只好安排课上的时间让学生在课堂上做作业，讲作业。以求巩固学到的知识。三个孩子十分努力，张博文准备赴美留学，他本人也比较潇洒，自己喜欢的科目好好学，不喜欢的放弃，他喜欢数学，花了功夫，因此基本上学懂了。做题时经常一看就会，讲得也头头是道，但是涉及数字就会出错，男孩子普遍比较粗心。纪乃文是个活力四射的小姑娘，结实得像个小铁蛋儿，有极强的记忆力和过人的计算能力，只是理解力欠缺一些。李逸然端庄美丽，文静友善，有良好的家庭教养。她写过一篇关于矩阵的秩的小文章，在《数学通报》上发表了。考试完毕后，各门课程都安排了“考试讲评”，大仙课排在最后一天的晚上。我给课程仅剩的三位“铁杆”分析完高代试卷，向他们道谢。我说：“谢谢你们参加了大仙课的学习，并一直坚持到最后。认识你们，为你们上课，给我们两个古稀老人带来了很大的快乐。”三个孩子紧挨着坐在我们教室第一排的课桌后面看着我，说他们也很喜欢我们，喜欢我们讲课的风格，也喜欢我们的为人处事。我问孩子们：“大仙课对高考没有帮助，又相当困难，你们为什么一直学下来了呢？”回答是：“因为愿意听你们讲课。”我们聊得很开心，好像有很多话要说。直到一个多钟头之后，我一再催他们回宿舍整理行装，准备明早家长来接，他们才恋恋不舍地走出了教室。我和王昆扬把他们送出门外，依依不舍地看着他们的背影在走廊的拐角处消失。是啊，教师在讲台上一站，你的学术底蕴，你的敬业精神，你的风度气质便在学生面前展露无遗，潜移默化地影响着学生。我们只会教书，从来没有做过，也不会做思想工作，更不会训导学生应该如何行事，或许这些便是他们喜欢我们的原因？尽管课程算不上成功，但两年的经验表明，大学先修课程在我国的中学完全可以推行，中国的优秀学生学习这种课没有本质的困难，甚至可以比有些外国孩子学得更好。在一次聚餐会上，我跟北师大实验中学的王本中老师谈到青岛中学的学生学习大仙课的事情，他是全国十佳校长，任国务院参事室的参事。他说：“那是因为你们教得好。”我们在大学教基础课多年，确实有一定的教学经验，但是十一学校博士毕业的潘国双、张伟老师不是也教得很好吗？西方国家的私立中学和公立理科高中推行大学先修课程已经有七、八十年。事实上，世界进入了信息时代，人类知识的积累突飞猛进地增长，二十世纪初形成的课程体系已经远远不够，将大学的基础课程放到中学势在必行。王昆扬认为，推行大学先修课程还有一个很现实的理由：中学数学课程留下了两个逻辑漏洞，而一般大学课本中并没有弥补，以致犯了逻辑性错误。另一方面，人类的智力越来越发达，西方的经验证明，优质学生学习这些课程甚至更深层的课程都没有什么困难。还有一个重要的原因，就是逻辑推理能力的培养应该在13-16岁时进行。尽管平面几何已经做了这方面的铺垫，但未来的科研工作需要更强的逻辑能力，而大学基础课程恰恰满足了这一点。西方科学技术的发展完全倚仗于这些精英学校培养的人才，略举一例。2018年，德国32岁的数学家舒尔茨得到了菲尔兹奖，该奖的授予基于他在24岁时提交的博士论文，文中构筑了代数和几何之间桥梁的第一块砖。直到今天，能够读懂这篇论文的人寥寥无几，他们都是业内顶尖的数学家。而我们的孩子22岁大学毕业，经过3年硕士阶段，3年博士阶段的学习，毕业已经28岁，这时再进入研究领域已经与西方拉开了档次。我们不是输在幼儿园那个起跑线上，而是输在科研的起跑线上了。我有时会想起塞万提斯笔下的堂吉柯德，幻想回到古代骑士时期的他，毫无胜算地与风车大战。而我们也在毫无胜算地与举国一体的教育制度较劲。由于体制上的种种限制，高考的层层钳制，我们现在还无法系统地将大学先修课程植入优质中学，全面地推行精英教育。尽管教育部允许，现行高中课程标准也有一些微积分方面的内容，但是距离系统地讲授和学习相差甚远。在现行体制下，在一些私立学校，在理念比较超前的优质公立中学，讲授这些课程也并非完全没有可能。南方许多优质高中，北京十一学校和青岛中学的经验都证明了这一点。令人遗憾的是，根据民族大学研究生李坤萍在北京的调查，除十一学校系统地讲授大学课程之外，人民大学附属中学有一个班开设高等数学，清华附中实验班特别优秀的学生去读先修课程，其他学校都没有这方面的尝试。那么多师资力量非常强大的顶尖中学，那么多极其优秀的尖子学生仍然不得不在高考的指挥棒下与大众一道齐步前进。课程体系的滞后，使得多少有才华的中国学生输在了起跑线上，我们这些当老师的，都深深地为他们感到惋惜。目前我们准备继续教2019-2020学年十年级和十一年级的大仙课。无论如何，只要有一个学生愿意学习大学先修课程，我们也会尽心尽力地讲下去，就算做一回堂吉柯德吧。就讲到这里，谢谢大家。❝作者简介：张英伯，北京师范大学教授，《数学文化》编委。❞文章为原创内容，版权归【数学文化】所有如需转载请联系：support@global-sci.org

佩雷尔曼、柯尔莫哥洛夫、马尔可夫——苏联产生了众多的数学天才。如今，天才工场已经荣光不再，个中缘由不尽相同。莫斯科西南区的列宁山为瞭望俄罗斯的首都提供了绝佳视角。山脚下莫斯科河蜿蜒而过，紧紧围绕着1980年夏季奥运会的主赛场，克里姆林宫就在六公里之外。山顶矗立着壮丽的莫斯科大学主楼——在几十年的时间里这里一直是数学家的麦加。全苏各地如柯尔莫哥洛夫等彼时最勇猛精进的头脑曾汇聚在这里。五十年代末，数学力学系（简称数力系）的兴起开启了俄国数学的数学黄金年代。佩雷尔曼、柯尔莫哥洛夫、马尔可夫——苏联产生了众多的数学天才。如今，天才工场已经荣光不再，个中缘由不尽相同。莫斯科大学主楼例如，谢尔盖•诺维科夫（Sergei

概率论和随机过程是数学体系中的一个另类，它的最早起源既不是对于数与形的探究，也不是对于物理问题的建模和分析。概率论最早起源于人们对于赌博游戏中随机规律的好奇，不过到了差不多十九世纪，人们也逐渐发现概率论和随机过程的知识可以被很好地用来刻画真实物理世界中的随机现象，其中首推布朗运动。苏格兰植物学家罗伯特•布朗在1827年首先观察到了悬浮于水中的花粉迸出的微粒所做的无规则状运动，后人将之命名为布朗运动。后来直到1905年左右，才由爱因斯坦等推导出了第一个定量刻画布朗运动的数学规律，并被法国物理学家佩林首次在实验上证实，最终确认了分子和原子的存在。布朗运动，首先由生物学家发现，而后对物理学和数学都产生了深远的影响，这也许就是历史上最早的生物学和物理学以及数学的学科交叉。图1.二维布朗运动轨道从爱因斯坦的布朗运动理论开始，真正意义上的随机过程及其严格数学理论，在二十世纪上半叶被慢慢建立了起来。与此同时，随机过程理论也在物理学乃至化学领域里逐渐找到了用武之地。比如，物理学家朗之万所提出的牛顿定律在随机力下的修正，即朗之万方程，至今仍然是研究溶液里大分子或者胶体运动的经典模型，物理化学家克莱默就基于该模型给出了著名的化学过渡态理论的数学分析，与此相关的亚稳态理论至今仍然是随机过程数学理论研究中的热点。又比如，高分子聚合物在溶液里的构象，一直以来都是用随机过程来建模的，不仅如此，化学家们在为高分子聚合物建模的过程中，还提出了不少新的随机过程模型，其中一些模型的严格数学理论已经成为现在随机过程理论中最核心的问题，2006年和2010年都有数学家因为解决了其中的某些重要问题而获得了菲尔兹奖。再比如，物理学家德尔布吕克（1969年诺贝尔生理学和医学奖得主）第一次用随机过程里的马尔可夫跳过程模型描述了自催化化学反应系统中化学物质分子数的随机涨落，这一类模型现在被称为化学主方程模型，得到了广泛的应用。除此之外，生物学中的遗传学其实很早就开始使用较为复杂的随机模型了，诞生了像哈代-温伯格（Hardy-Weinberg）平衡和费舍尔-怀特（Fisher-Wright）模型这样的著名理论。图

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钱宝琮（1892-1974），字琢如，浙江嘉兴人，中国数学教育家，科学史家。1911年，毕业于英国伯明翰大学土木工程专业，旋即回国，投身于中国高等数学教育事业，先后执教苏州工业专门学校、南开大学、中央大学、浙江大学等学校，是数学教育界的老前辈；同时，潜心钻研科学史，特别是数学史、天文学史，著作颇丰。1956年，调入中国科学院中国自然科学史研究室任一级研究员。他也是中国自然科学史委员会委员（1954年）、《科学史集刊》主编（1958年）、国际科学史研究院（巴黎）通讯院士（1966年）。著名数学家陈省身是钱宝琮在南开大学教过的学生。他给《一代学人钱宝琮》作序时称：“从上世纪20年代起，先生就立志‘以整理中国算学史为己任’，并为之奋斗了一生。先生留给我们后人的许多传世之作，早已在海内外产生了深远的影响。”1937年8月，日寇重兵进攻上海，轰炸杭州，国立浙江大学已放不下一张平静的书桌。为保存中华民族的文化火种及精神血脉，浙江大学在著名气象学家、教育家竺可桢校长的率领下，踏上漫漫西迁路程。时为数学系教授的钱宝琮跟随学校颠沛流离，走建德，过吉安、泰和，赴宜山，抵青岩、遵义、湄潭及永兴。他晚年回忆说：“在这几年‘国难’时期里，经过多次搬家，备尝艰难险阻，生活费用虽不优裕但也不觉得太苦。浙江大学在上述各地暂时停留，总是想方设法开辟教室、科学实验室、图书馆和农场。我也努力教好我的‘微积分’课程。”1在浙大西迁的9年时间，他木铎金声，教泽广被，对浙大数学教学产生了积极的影响；他初心不改，心无旁骛，数学史研究多有建树，赢得了英国学者李约瑟博士（Joseph

近二十年来，数学文化方兴未艾。愈来愈多的大学开设了数学文化课。与之相伴的是，数学文化也越来越多地走进中小学的课堂。在现行的高中数学课程标准中，数学文化是一个单独的板块，给予了特别的重视。期待让数学文化走进中小学课堂，来渗入实际的数学教学中，以便更好地让学生在数学学习过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，进而促进当下的中小学的数学教育。数学话剧的创作与实践，是数学普及和数学文化传播的一个全新的模式。这种探索的目的，是希望数学文化与话剧艺术的融合，让数学文化更好地走进学生的生活，帮助更多的学生培养数学学习的兴趣，让更多的人了解数学、喜爱数学。经由数学话剧生动的具象演绎，可以让观众比较轻松地获得相关的数学和人文知识，感悟数学科学世界的美，提高自身的科学与人文修养。华东师范大学数学话剧的创作与实践已历经有七个春秋。七年来，我们已创作和排演有《无以复伽》《物竞天哲》《大哉言数》等10部数学话剧。从2012年最初的数学话剧《无以复伽》的幼稚，到2018年的话剧《几何人生II》的相对成熟，许多回，数学话剧的舞台让我们有机会一道来体验数学世界的传奇，一道来感悟数学家的科学工匠精神，一道来见证团队群体的神奇力量。在这里，收藏有诸多完美与不完美。在这里，收藏有数不清的酸甜苦涩。在这里，也有太多的快乐，欣喜与感动同在!下面将主要围绕着原创数学话剧《几何人生-大师陈省身》（以下简称为《几何人生》）来谈谈其背后的数学与人文故事。I

Part1引子祁力群教授，数学家，江苏常熟人。1968年本科毕业于清华大学计算数学专业，1981年和1984年在美国威斯康星大学麦迪逊分校取得计算机科学硕士和博士学位。祁力群教授曾任教于清华大学、澳大利亚新南威尔士大学、香港城市大学和香港理工大学，曾为香港理工大学讲席教授和应用数学系系主任，现为香港理工大学应用数学系荣休教授，杭州电子科技大学特聘教授。祁力群教授在国际杂志上发表了350篇论文。他因在最优化领域的突出贡献——半光滑牛顿法超线性收敛理论和光滑化牛顿方法的全局收敛理论的创建，而获得2010年度中囯运筹学会科学技术一等奖。祁力群教授的研究成果在世界上被广泛引用，在2003-2010年度被列为国际高被引数学家，2018-2019年被再次列为世界高被引数学家。祁力群先生在澳大利亚工作期间连年获得科研基金资助，自1999年到香港以来，连续十八年取得香港特区政府科研基金支持。他自2007年开始在香港基金会理科审评组工作。祁力群在包括J.

1940-2011）的同伦代数的全新的几何学。虽然无穷阶范畴论早就出现在数学和物理学里，但吕李有他的个人理论，为了帮助大家学习他的理论做准备,他写了两本书：《高阶拓扑形理论》（Higher

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思考起源在一些以数牌和切牌为基本操作的数学魔术中，常常因为过于繁琐、无聊而使得其魔术效果大打折扣。而如何精妙地运用数学性质，以及合理化这些本有些不合常理的操作，也是把数学原理应用在魔术中最大的困难之一。今天要分享的魔术作品，虽然用到的魔术操作、数学原理和模型在之前的文章中有提到过，但今天我们换一个角度来看，就会有完全不同的认识。并且，这个魔术在应用原理的不着痕迹上，也令我眼前一亮：世间如何会有这么天衣无缝的作品！魔术欣赏聪明的小丑（The

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本文原载于《数学文化》第十一卷（2020年）第2期点击此处订购《数学文化》纸质刊开场白从数学的历史发展来看，初等数学与高等数学之间的联系是非常紧密的。然而在当前的数学教学中，二者往往处于割裂的状态。本文以一道平面几何题的多种解法以及推广为主线，通过虚拟对话的方式，对这些解题方法的相关历史背景及其内在联系进行了初步的探讨，尝试勾画出初等数学是如何发展到高等数学的。在某种意义上，这场对话的内容可以看成是两千多年数学发展历史的一个纵向切面。主要人物介绍M•克莱因：20世纪美国数学史家和数学教育家。《古今数学思想》是他的代表作之一，论述了数学思想的古往今来，这也是选择他作为此次对话主持人的主要原因。泰勒斯：古希腊数学家、哲学家，被誉为“论证几何学的鼻祖”。毕达哥拉斯：古希腊数学家、哲学家，毕达哥拉斯学派的创始人，该学派信奉“万物皆数”，即万事万物都可以由整数或者整数之比来表示。希帕苏斯：毕达哥拉斯学派成员，传说他首先发现了正方形对角线与其一边的不可公度性，而被惊恐不已的其他成员扔进了大海。欧多克斯：古希腊天文学家和数学家，他所提出的新比例理论暂时消除了由于不可公度量的出现而引发的“数学危机”。芝诺：古希腊数学家、哲学家，因提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论而闻名于世。在这些悖论中，其中一个就是“论证”了希腊善跑名将阿基里斯永远追不上一只乌龟。欧几里得：古希腊论证几何学的集大成者，其著作《原本》对后世的影响极为深远。艾布•瓦法：中世纪阿拉伯天文学家、数学家，著有《天文学大全》，证明了平面和球面三角形的正弦定理。笛卡尔：17世纪法国哲学家、数学家，将几何坐标体系公式化从而开创了解析几何。关孝和：17世纪日本数学家，在1683年的著作《解伏题之法》中最早提出了行列式的概念及算法。拉格朗日：18世纪法国数学家，数学分析的开拓者之一。高斯：18-19世纪德国数学家，享有“数学王子”的美誉。在历史上，高斯并不是最先给出复数的几何解释的，但是由于他的巨大影响力，人们逐渐认识到这种解释的合理性，从而沟通了复数和平面几何的联系，使得复数成为解决平面上的数学问题和物理问题的重要工具。格拉斯曼：19世纪德国数学家，历史上首次清晰地解释了“维向量空间”的概念，把维向量空间的向量和与积用纯几何方法来定义，发展了通用的向量演算法。哈密尔顿：19世纪英国数学家，提出了著名的“四元数”；在历史上，他是第一位用“向量（vector）”这个词表示有向线段的数学家。庞斯列：19世纪法国数学家，他使得射影几何真正变革为一门具有独立的目标和方法的学科。康托尔：19世纪德国数学家，集合论创始人，认为“数学的本质在于它的自由”。M•克莱因：诸位，在西方文明中数学一直是一种主要的文化力量；以神圣的数学之名，我们欢聚一堂。首先有请古希腊泰勒斯先生。泰勒斯：今天我们来探讨几何学。几何学源远流长，人类最初的几何知识从对世界万物形的直觉中萌发出来。事实上，古埃及的几何学即产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，“几何学”一词的希腊文意即“测地”。古希腊时代以前的数学都以经验的积累为特征，几何学也不例外；但经验不是获取知识的唯一方法，经验也不能给人类以推理能力，我们需要一种推理方法来保证它所导出的结论具有确定性。M•克莱因：古希腊学者们所发明的推理方法就是演绎法，即从已认可的事实推导出新命题，承认这些事实就必须接受推导出的命题；而几何学便从此进入了推理几何阶段，对于各种各样几何图形的性质作系统化和深刻的分析。泰勒斯：的确如此。尽管历史学家把论证数学的开端归功于由我领导的爱奥尼亚学派，但实际上我们学派的兴趣主要还是在自然哲学方面，比如宇宙起源理论等等。关于我本人也有很多传说，比如说我早年经商，进行橄榄榨油机生意发了大财，在巴比伦我预报了公元前585年的一次日蚀，甚至还说我夜晚散步在全神贯注观察星星时，不小心跌到沟中成了落汤鸡——但传说毕竟是传说。M•克莱因：关于泰勒斯先生的传说有些还是有记载的，比如新柏拉图派哲学家普罗克鲁斯先生在其著作中便介绍说泰勒斯先生证明了下面关于三角形的一个很基本的性质：等腰三角形两底角相等。三角形是仅次于线段和直线的最基本、最简单的几何图形，并且空间中的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现，因此三角形是古希腊几何学所研究的重要内容之一。泰勒斯：不错，今天我们要探讨的几何问题便是与三角形有关：如图1,为重心，过的直线交于,交于。求证：。图1毕达哥拉斯：泰勒斯先生，正所谓万物皆数，与，与应该均可公度！希帕苏斯：我的名字就是一种传说，哪怕再次面临着被扔到汹涌的大海的危险，我也要说出我的发现：毕达哥拉斯先生，世上确实存在不可公度的线段！比如正方形的边长和对角线长之间的辗转丈量就是永无休止因而是不可公度的（如图2）！图2欧多克斯：向伟大的希帕苏斯先生致敬！其实无论与，与是否可公度，利用比例理论我都可以证明“如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底之比”。下面我将利用这个结论来解决泰勒斯先生所提出的问题。图3如图3，取为中点，设。由是重心可知且，。从而所以又故化简即有芝诺：欧多克斯先生的解法巧妙之至，可惜现在我没有时间来研究它。阿基里斯到底能不能追上乌龟呢？我要好好思考一下。托勒密一世：伟大的阿基里斯怎么能追不上一只乌龟呢？芝诺先生真是幽默。不过想要理解欧多克斯先生的解法，我还要认真学习一下几何学才行。尊敬的欧几里得先生，您是几何学的集大成者，请告诉我，学习几何学有何捷径呢？欧几里得：几何学无王者之道！尊敬的托勒密王可参阅我编写的《原本》(Elements)一书。欧多克斯先生的方法确实不错，但我发现了更为精巧的方法，应该可以加到我的《原本》中去：图4如图4，同样取为中点，连接。分别过点作直线的垂线于，则有M•克莱因：欧几里得先生不愧为几何学大师，其方法简洁明了，所作辅助线有如神来之笔，充分体现了几何学的神奇魅力，让人惊叹！欧几里得先生的《原本》以亚里士多德先生的形式逻辑为方法论基础，将前人的工作整理、汇编，构建了历史上第一个数学公理体系，堪称西方科学的“圣经”！艾布•瓦法：欧几里得先生果然名不虚传。不过我却要对尊敬的托勒密先生表示感谢，您的著作《大成》虽然是探讨天文学，但对三角学的贡献却是里程碑式的。受您的启发，我编写了《天文学大全》，其中关于三角形的正弦定律，可以用来解决这个几何问题。图5如图5，过作交于，交于。设则由正弦定律可得因为所以即M•克莱因：艾布•瓦法先生的解法将此问题的一般情况与特殊情况作对比，虽计算略显复杂，也不失为一种好办法。三角学确实是为天文学的应用而产生的——天文学可能是一门比数学的历史还要悠久的学科，若知道这一点，人类为何首先关注球面三角学而不是平面三角学便不显得奇怪了。当然，随着13世纪纳西尔•丁先生的著作《论完全四边形》的诞生，三角学便逐渐脱离天文学而成为一门独立的学科。三角学揭示了三角形的各种各样几何量之间的函数关系，因此从某种意义上来说三角学就是三角形的解析几何。本质上讲，三角定律揭示的是平面几何的度量结构，其中正弦定律(Law

本文原载于《数学文化》第十一卷（2020年）第2期点击此处订购《数学文化》纸质刊1. 引言今天我们将要介绍的面积率，也称面积法则，不是我们在中学平面几何里的面积公式，也不是热力学中的麦克斯韦等面积法则，而是在超音速研究中发现的一个设计规则。这个规则是帮助人类突破音障的两大帮手之一。另一个是超临界翼型（supercritical

本文原载于《数学文化》第十一卷（2020年）第2期点击此处订购《数学文化》纸质刊数学是有生命的科学，世间万象为数学提供了灵感和营养，也从数学获得了系统、严格的理论解释。通过对自然现象运行机理进行更深层更全面的揭示，数学研究充满了生机和美感。上个世纪50年代前，很多数学家认为数学研究是为了丰富和完善自身的理论体系，并不认同它与现实世界紧密相关。这一观念在二十世纪下半叶随着电子计算机的出现被彻底改变了。伴随着工业化和高科技的飞速发展，涌现出大量令人耳目一新的数学问题，越来越多的数学家认识到应用数学的美妙和力量，其中有一大部分终生投身到应用数学的研究和实践中。随着计算机硬件的飞速发展，应用数学的传统发展轨迹也不断修正，研究方向不断创新。由此也诞生了应用数学的一个全新世界——工业与应用数学。为了更好地让越来越多的应用数学学者能够更有效地交流学习，四个数学组织，即美国工业与应用数学会（SIAM）、德国应用数学与力学学会（GAMM）、法国工业与应用数学学会（SMAI）、英国数学及其应用学会（IMA）于1986年联合决定每四年召开一个大型学术会议，称为国际工业与应用数学大会（International

测量工具测量技术是16世纪实用几何学的主要内容。这个时期，很多数学书，即使是冠以《算术》之名的数学课本，都会涉及测量问题，一些专门介绍各种测量方法的书也相继出版，如英国数学家狄格思（L.

本文选自《数学文化》第十卷（2019年）第4期点击此处订购《数学文化》纸质刊编者按：著名数学家、教育家、武汉大学原校长齐民友先生于2021年8月8日在武汉逝世，享年92岁。《数学文化》曾有幸于2019年4月采访过先生，并在《数学文化》十周年纪念刊上发表了《齐民友访谈录》。

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Fisher）在内的统计学家的激烈争论。同时期，费希尔对随机化实验进行了深入的研究，虽然他没有使用内曼潜在结果的记号，但是因果推断始终是他思考的对象。随后的几十年，随机对照实验（randomized

天天写无聊的文章，那也不行。如果开始写了以后，要不停地提高，不能老停留在同一个水平上。王元80岁生日小聚，北京伏尔加餐厅（2010年）80岁生日小聚，欧阳中石题词：信步及米，相期以茶（2010年）蒋

“千禧年大奖难题”的诞生千禧之际，万象更新，数学界的柔风细雨中惊响起初夏的雷鸣。七个重要的数学问题！七百万美元的巨额奖金！克雷数学研究所公布的大奖难题响彻巴黎大街小巷的云霄，引人惊鸿一瞥，这一天，正是2000年5月24日。此事缘何而起？它又将何去何从？本文将以只言片语，讲述些许这注定不凡的往事。“千禧年大奖难题”的诞生与克雷数学研究所的成立密不可分。1998年4月15日的晌午时分，哈佛教师活动中心古朴的餐厅中萦绕着人们的莺莺絮语。此时，克雷先生首次向我提起了创建一个软件基金会的想法，他部分拥有一家濒临倒闭的公司，正适合改建成基金会。“这是一个争取税收优惠的好方法，但并不是花钱的最佳途径。”我略作沉思提出了自己的建议，“倘若你愿意为数学作一番事业，我必鼎力相助！”克雷先生眼眸一亮，他素来是科学和教育的大力赞助者。大约六周以后，他作出重大决定：另外设立一项基金会，专门支持数学。正所谓兵马未动，粮草先行，这使我备受鼓舞。

前言：汤涛院士眼中的冯康汤涛，中国科学院院士，曾任南方科技大学副校长，现任北京师范大学-香港浸会大学联合国际学院校长，《数学文化》期刊联合主编，《冯康传》作者之一。长期从事计算数学研究，曾荣获冯康科学计算奖、教育部高等学校科学技术奖自然科学奖一等奖、国家自然科学奖二等奖。各位读者朋友：非常高兴有个机会给大家介绍我和作家宁肯先生的近作《冯康传》。冯康是我国计算数学的创始人，也是著名的有限元算法数学理论的奠基人，在国际计算数学领域享有极高的声誉。冯康院士学习工程和物理出身，之后又自学数学，跟从华罗庚和俄国数学大师庞特里亚金，集大成于一生。冯康一生实现了科学上的两次重大突破，一次是1964年到1965年间，独立地开创有限元方法理论，二是在1984年以后创建了哈密尔顿系统的辛几何算法及其应用。我们这本书里详细介绍了在1950、1960年代那个建设新中国的火红时代，水坝建设，国防建设召唤了一批科技英雄。作为领军人物的冯康，和他的战友们并肩作战为共和国的建设做出了巨大的贡献，同时也为科学为数学做出了开创性的贡献。另一块就是改革开放后的1980年代，冯康院士开创了辛几何研究的新领域，取得了国家自然科学一等奖。冯康，他是中国计算数学的奠基人，是被载入科学史册的大科学家。他被牛津大学院士认为是千年科学计算算法的一个重要贡献者。两个中国人在这个千年算法贡献者行列，一个是1000多年前的中国人刘徽，另一个就是本书的主人公冯康。冯康的少年与疾病斗争，冯康一门三院士，冯康桃李满天下。这些都将在本书中得到充分的展现。适逢共和国70年华诞，中国科学院、中国科协、中国作协要推出科学家传记。这使得我和鲁迅奖得主、作家宁肯，这两个不同世界的人走在一起。冯康，他曲折的一生，奋斗的一生，感动了作家，感动了数学家。冯康的故事促使我们花了两年的时间走访了数十位冯康先生的朋友、学生、家属、同事。我们希望用一手的资料还原一个伟大的科学家丰富多彩的一生。冯康先生的一生，伴随着时代的发展，伴随着数学的进步。我们希望大家通过此书更加了解数学家，更加了解过去70年中国科学的发展。当然也希望这本书能激励年轻人，投入到数学研究和数学应用这片美丽的天地里。写作背景冯康先生（1920-1993）是中国现代数学史上一位非常重要的数学家、应用数学与计算数学家，他是中国科学工程计算的开拓者与奠基人，被誉为中国计算数学之父。2019年12月，作家宁肯、数学家汤涛合作出版了《冯康传》，首次以著作的体量（374页，26.5万字）回顾了冯康的一生，并评价了他的科学生涯，在很大程度上弥补了学术界此前关于冯康及其贡献研究方面零散而不成系统的缺憾。新书概要《冯康传》分为引子、主体、尾声、附录和后记五个部分。引子介绍了数学、计算、科学计算、计算数学等概念、理论和它们之间的关系，并论述了计算数学在中国的开篇历程，进而引出本书的主人公——冯康。主体采用倒叙的写法，共由四部组成，分别是少年与病痛、有限元与计算，学术与舞台，学派与传承。第一部（1-6章）主要描写冯康的童年与求学经历，其中最主要的事情是冯康考入中央大学和他独特的学习经历。第二部（7-17章）主要论述冯康如何成长为一名杰出的应用数学家，为中国的国防与科技发展做出重大贡献。特别是在刘家峡水坝的计算实践中，冯康带领学术团队发现了有限元方法，并在极其广泛的条件下证明了该方法的收敛性与稳定性（荣获1982年国家自然科学二等奖），被国际上公认为有限元方法的独立发现者。第三部（18-28章）与第四部（29-37章）主要描写冯康进一步成长为“飞鸟”型的领袖数学家，他长期主持中国科学院计算中心，成功申请到科学与工程计算领域国家重点实验室（数学领域唯一）。在学术研究上则更进一步：创造了自然归化和自然边界元方法（受邀1982年国际数学家大会45分钟报告），开辟了哈密尔顿系统的辛几何和辛格式新领域（荣获1997年国家自然科学一等奖），广泛活跃于世界的学术舞台之上，并组建了著名的“冯康”学派。尾声论述了在冯康的带领、鼓舞与感召下，中国计算数学如今已在国际上占有重要地位。附录收录了冯康的年表，后记则记载了两位作者撰写本书的缘由和心路历程。新书看点《冯康传》在资料采集方面较为丰富，得到了中国科学院的大力支持，以及冯康的亲属（弟弟冯端院士夫妇），生前的同事和学生（黄鸿慈教授、石钟慈院士、林群院士、袁亚湘院士等）的鼎力相助，首次全景式地展现了冯康的家庭出身、求学经历、学术环境以及成长为一名世界级数学家的历程，对他取得成功的外在条件与内在因素都有涉猎和探讨。《冯康传》不是一部歌功颂德的传记，书中关于有限元方法申报国家自然科学奖的风波，以及由此引发的与团队重要成员黄鸿慈之间的矛盾，都显示出冯康是一个有血有肉的科学家。《冯康传》不可或缺的组成部分是对冯康的学术工作进行评价，这需要对现代数学及其发展有深刻的理解与把握。比如在20世纪六十年代中西方学术交流相对封闭的年代，冯康到底如何在实践中发现了有限元方法，并在理论上奠定了其数学基础？这一方法又是如何在改革开放后获得西方学术界的承认与尊重？冯康是如何萌发辛算法的想法并付诸实践？本书的作者之一汤涛院士是计算数学家，对数学文化的传播普及情有独钟且有一定的经验，较为成功地解决了这些问题。他在书中再现了冯康创造有限元方法（第13-14章）、自然边界元方法（第24章）与辛算法（第25-26章），并在国际和国内获得认同与认可的过程，为探究现代科学知识的创造与传播提供了一个重要案例。总结从形式和内容上来看，《冯康传》是一部标准传记（standard

Bezout）定理说此方程组所有孤立解总数的一个上界是所有多项式的阶之乘积。这个积称为对应于该方程组的比左数。但在绝大多数情况下，此上界远远大于实际孤立解的个数，其一典型例子为代数特征值问题。对应于

1963年，五粮液在国家的正式酒会上，评酒专家们给了它很高的评价，对酒的感官评语是这样写的：“香气悠久，味醇厚，入口甘美，入喉净爽，各味谐调，恰到好处。”“在大曲酒中以酒味全面著称。”这就是五粮液传统工艺造就的美酒。在评酒会上，它冠盖群芳，名列前茅。传统五粮液酒的酒度是60度，北方的大曲酒一般是65度，国际上的六大蒸馏酒（威士忌、白兰地、伏特加、金酒、朗姆酒、中国白酒）除中国白酒之外，其酒度都比较低，基本上都在

谨以此文纪念哈尔莫斯（Halmos，1916-2006）诞辰100周年定价:￥49.00人民邮电出版社，2016年（京东2.24-2.29人民邮电出版社有五折活动哟）作者谢尔登•阿克斯勒（Sheldon

最近看到一本关于许宝騄1的书，《道德文章垂范人间》，其中316页上有一篇俞润民的文章2，说许曾研究“移棋相间法”，曾发现“合四为一之新律”。我猜，此新律恐怕就是后来我发现的modulo

而是有一定的基础标准。学生要学相当多的基本原理以便自立应付各样不同的发展。如果学生只在老师的实验室、设计所为老师当小差完成老师的计划，基础理论训练都可以抛到九霄云外了！问题是：

张译本的译者序中都提及这样一个“文言”译本，虽然简单地连具体书名亦未指出。左平、张饴慈译本（增订版）台湾也有两个译本——一是由吴英格等人翻译，徐氏文教基金会于1977年出版的《数学是什么